پاورپوینت روابط بازگشتی (Recurrence Relations)

— پاورپوینت شامل تصاویر میباشد —-

اسلاید ۱ :

رابطه های بازگشتی

یک رابطه بازگشتی برای دنباله {a } معادله ای است که a را بر پایه ی یک عبارت یا عبارات بیشتر قبلی دنباله  a0, a1,…, a -1 ، برای همه اعداد صحیح با شرط ≥ ۰   که ۰  عددی صحیح و نامنفی است ، بیان می کند. یک دنباله جواب یک رابطه بازگشتی  است اگر عباراتش در رابطه بازگشتی صادق باشند.

اسلاید ۲ :

رابطه‌ای را بازگشتی می‌نامیم که در آن برای محاسبه هر عنصر نیاز به مقادیر تعدادی از عناصر قبلی آن داشته باشیم و براساس آنها بیان شده باشد.

نقطه مقابل رابطه بازگشتی رابطه صریح می‌باشد که در آن با دانستن شماره عنصر مستقیماً مقدار آن توسط تابع صریح آن پیدا می‌گردد.

رابطه بازگشتی را به صورت زیر می توان بیان نمود (ui عنصر iام از دنباله است)

اسلاید ۳ :

مثال

به چند طریق می‌توان صفحه‌ای با اندازه ( )x2 با موزاییک‌های ۲×۱ فرش کرد؟

اسلاید ۴ :

سکه یکسان ۵۰ تومانی داریم. فرض می‌کنیم x تعداد روش‌هایی باشد که این سکه را در دو ردیف افقی روی هم چنان مرتب کنیم که هر سکه در ردیف بالا، دقیقاً در فضای خالی دو سکه زیری قرار گرفته باشند.

برای محاسبه x رابطه بازگشتی بدست آورید.

اسلاید ۵ :

رابطه بازگشتی همگن خطی ازدرجه k
Li ear Homoge eous Recurre ce Relatio of Degree k

یک رابطه بازگشتی همگن خطی از درجه k با ضرایب ثابت، رابطه ای بازگشتی به شکل

a = c1a -1 +  c2 a -2  + … + ck a -k

که c1 , c2, …,ck   اعداد حقیقی و ۰ ≠ ck

مثال

f = f -1 + f -2

اسلاید ۶ :

حل رابطه های بازگشتی همگن خطی با درجه k با ضرایب ثابت

فرض کنیدc1 و  c2اعداد حقیقی باشند و r2 – c1r – c2 = 0  (که معادله مشخصه رابطه بازگشتی نامیده می شود) دو ریشه متمایز r1 و r2 داشته باشد. دنباله {a } ، جواب  رابطه بازگشتی  a = c1a -1 +  c2 a -2    است اگر و فقط اگر
 a = α۱r1 +  α۲ r2      برای =۰,۱,۲,… باشد، وقتی که α۱   و  α۲  ثابت باشند.

معادله مشخصه (Characteristics Equatio )

ریشه های مشخصه (Characteristics Roots)

اسلاید ۷ :

مثال: رابطه فیبوناچی

اسلاید ۸ :

فرض کنید  c1 و c2و… و  ckاعداد حقیقی باشند، و فرض کنید rk – c1rk-1 -…- ck = 0  دارای k ریشه متمایز r1 و r2و…و  rkباشد. دنباله {a } ، جواب رابطه بازگشتی

  a = c1a -1 +  c2 a -2+ … +  ck a -k   

است اگر و فقط اگر a = α۱r 1 +  α۲ r 2+ … +  αk r k     برای =۰,۱,۲,… باشد، وقتی که α۱   و  α۲ و … و  αk ثابت باشند.

اسلاید ۹ :

فرض کنید c1 و  c2اعداد حقیقی باشند و r2 – c1r – c2 = 0  تنها یک ریشه مضاعف r0 داشته باشد. دنباله {a } ، جواب رابطه بازگشتی  a = c1a -1 +  c2 a -2    است اگر و فقط اگر a = α۱r0 +  α۲ r0      برای =۰,۱,۲,… باشد، وقتی که α۱   و  α۲  ثابت باشند.

اسلاید ۱۰ :

مثال:

a = 6a -1-9a -2

a0=1

a1=6